Mời các bạn thuộc tham khảo nội dung bài bác giảng Bài 1: Hệ phương trình tuyến tính sau đây để tò mò về dạng biểu diễn ma trận, giải hệ phương thơm trình đường tính bằng phương pháp Gauss, định lý Cronecker - Capelli, hệ pmùi hương trình tuyến tính thuần tốt nhất,...

Bạn đang xem: Hệ phương trình tuyến tính và cách giải


1. Dạng trình diễn ma trận

2. Giải hệ pmùi hương trình đường tính bằng phương thức Gauss

3. Định lý Cronecker - Capelli

4. Hệ Cramer

5. Hệ phương thơm trình tuyến tính thuần nhất


Ví dụ: Xét hệ 3 pmùi hương trình tuyến đường tính 4 ẩn số sau đây:

(left{ eginarrayl 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 1\ x_1 - 4x_3 + 5x_4 = - 2\ - 2x_2 + x_4 = 0 endarray ight.)

Đặt(A = left( eginarray*20c 2& - 1&1& - 3\ 1&0& - 4&5\ 0& - 2&0&1 endarray ight),,X = (x_1;x_2;x_3;x_4) = left( eginarrayl x_1\ x_2\ x_3\ x_4 endarray ight),,và,B = left( eginarrayl 1\ - 2\ 0 endarray ight))

Khi kia, hệ pmùi hương trình trên hoàn toàn có thể viết lại dưới dạng ma trận là: AX = B.

Trong ngôi trường đúng theo tổng quát, ta xét hệ m phương trình tuyến đường tính nẩn như sau:

(left{ eginarrayl a_11x_1 + a_12x_2 + .... + a_1nx_n = b_1\ a_21x_1 + a_22x_2 + .... + a_2nx_n = b_2\ ................................\ a_m1x_1 + a_m2x_2 + .... + a_mnx_n = b_m endarray ight.)

Đặt(A = (a_ mij)_m,x,n,,X = left( eginarrayl x_1\ .\ .\ .\ x_n endarray ight),,B = left( eginarrayl b_1\ .\ .\ .\ b_n endarray ight)). Lúc kia, hệ phương thơm trình bên trên hoàn toàn có thể viết lại bên dưới dạng ma trận là AX = B.

Ma trận(A_m x n) điện thoại tư vấn là ma trận hệ sổ của hệ phương thơm trình.Ma trận(overline A = (A|B)) điện thoại tư vấn là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình.X Hotline là vectơ ẩn.

2. Giải hệ phương trình tuyến tính bởi phương pháp Gauss.


Một phương thức phổ cập nhằm giải hệ phương trình đường tính là phương thức Gauss, gửi ma trận hệ số không ngừng mở rộng (overline A ) về dạng bậc thang xuất xắc bậc thang thu gọn, nhờ các phép đổi khác sơ cấp cho bên trên dòng.

Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 6\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3\ x_1 + x_3 = 4 endarray ight.,,,(I))

Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là :

Ta tất cả hệ phương trình (I) tương đương:

(left{ eginarrayl x_1 + x_3 = 4\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,hay,,left{ eginarrayl x_1 = 4 - x_3\ x_2 = 5 - x_3 endarray ight.)

Cho(x_3 = alpha in R), nghiệm của hệ là(x_1 = 4 - alpha ,x_2 = 5 - alpha ,x_3 = alpha )

Như gắng, hệ phương thơm trình gồm vô số nghiệm cùng với nghiệm bao quát là:

(X = (4 - altrộn ;5 - alpha ;alpha );alpha in R)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 = - 1\ 2x_1 + x_2 - x_3 = 1\ x_2 + x_3 = 5 endarray ight.,,,(I))

Giải

Ma trận hệ số mở rộng của (I) là:

Ta bao gồm hệ phương trình tương đương(left{ eginarrayl x_1 = 1\ x_2 = 2\ x_3 = 3 endarray ight.)

Vậy hệ có nghiệm nhất X = (1;2;3)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ 2x_1 + x_3 = 0\ 4x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 3 endarray ight.,,(I))

Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có hệ phương trình tương đương:(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - 2x_3 = 1\ - 2x_2 + 5x_3 = - 2\ 0 = 1 endarray ight.)

Vậy hệ pmùi hương trình vô nghiệm


3. Định lý Cronecker - Capelli


Xét hệ phương trình con đường tính: AX = B với(A_m,x,n,,X_n,,x,1,,B_m,x,1)

Ta có:

Hệ có nghiệm duy nhất(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = n)Hệ có vô số nghiệm(Leftrightarrow R(A) = R(overline A ) = k lúc kia, hệ phương trình có k ẩn chủ yếu ứng cùng với k thành phần dẫn đầu và n - k ẩn tự do, được đưa sang trọng vế bắt buộc.Hệ vô nghiệm( Leftrightarrow R(A)

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 + x_2 - x_3 = 2\ 2x_1 + x_3 = 1\ x_2 + 2x_3 = - 2 endarray ight.,(I))

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(R(A) = R(overline A) = 3)số ẩn

Vậy hệ tất cả nghiệm duy nhất: X = (1;0;-1)

Ví dụ: Giải hệ phuơng trình con đường tính

(left{ eginarrayl x_2 - 2x_3 = 1\ x_1 + x_3 = - 2\ 2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = - 1 endarray ight.(I))

Giải: Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có: (R(A) = 2 . Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 3\ 2x_1 + x_3 = 2\ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5 endarray ight.,(I))

Giải:Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của (I) là

Ta có:(Rleft( A ight) m = m Rleft( overline A ight) m = m 2) (số ẩn là 3). Vậy hệ gồm vô số nghiệm với 2 ẩn chính ứng cùng với 2 bộ phận đứng vị trí số 1 là x1, x2. Giải x1, x2theo ẩn tự do x3 ta tất cả hệ phương thơm trình tất cả vô số nghiệm với nghiệm tổng quát là:(X = left( 1 - fracalpha 2; - 2 + fracalpha 2;altrộn ight),với,alpha in R)


4. Hệ Cramer


Hệ phương thơm trình đường tính AX = B được điện thoại tư vấn là hệ Cramer nếu như A là ma trận vuông không suy biến chuyển , nghĩa là(left| A ight| e 0)

Lúc kia, ta bao gồm nghiệm duy nhất:(X = A^-1B)

Nếu cung cấp của ma trận A khá béo thì câu hỏi tìm(A^-1) tương thay đổi phức hợp. mà hơn nữa, có khi ta đưa ra bắt buộc search một vài ba ẩn (x_j) cố vày tổng thể những ẩ(X=(x_1; x_2;....;x_n)). Từ đó, tín đồ ta đưa ra công thúc tính từng ẩn (x_j) phụ thuộc phương pháp (X = A^-1B) nhỏng sau :

(x_j = fracD_jD)

Trong số đó (D = left| A ight|,và,D_j) là định thức của ma trận giành được tự A bằng phương pháp ráng cột j vì chưng vế cần (cột B ).

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - 2x_2 - x_3 = - 3\ - 3x_1 + x_2 = - 2\ - 2x_1 + x_3 = 1 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

(eginarrayl D = left| eginarray*20c 1& - 2& - 1\ - 3&1&0\ - 2&0&1 endarray ight| = - 7;,,,,D_1 = left| eginarray*20c - 3& - 2& - 1\ - 2&1&0\ 1&0&1 endarray ight| = - 6\ D_2 = left| eginarray*20c 1& - 3& - 1\ - 3& - 2&0\ - 2&1&1 endarray ight| = - 4;,,,D_3 = left| eginarray*20c 1& - 2& - 3\ - 3&1& - 2\ - 2&0&1 endarray ight| = - 19 endarray)

Vậy nghiệm là(X = left( fracD_1D;fracD_2D;fracD_3D ight) = left( frac67;frac47;frac197 ight))


5. Hệ pmùi hương trình tuyến đường tính thuần độc nhất.


Hệ phương trình tuyến tính AX = 0 hotline là hệ thuần tốt nhất. Ngoài những đặc điểm chung của hệ AX = B, hệ thuần tuyệt nhất AX = 0 còn có những đặc điểm riêng biệt như sau :

Hệ luôn luôn tất cả nghiệm đều đều X = 0 (không tồn tại ngôi trường đúng theo hệ vô nghiệm)Nếu A là ma trận vuông, không suy đổi mới thì hệ tất cả nghiệm tuyệt nhất (X = A^-10 = 0), đó là nghiệm bình bình.Nếu hệ bao gồm vô số nghiệm thì tập nghiệm là 1 trong những không gian nhỏ của không gian(R^n) (với n là số ẩn). Một các đại lý của không khí nghiệm được call là 1 trong hệ nghiệm cơ phiên bản.

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình con đường tính(left{ eginarrayl x_1 - x_2 + x_3 = 0\ 2x_1 - x_2 = 0\ x_2 + 2x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:(D = left| eginarray*20c 1& - 1&1\ 2& - 1&0\ 0&1&2 endarray ight| = 4 e 0)

Đây là hệ Cramer, bắt buộc hệ tất cả nghiệm độc nhất vô nhị X = (0; 0; 0)

Ví dụ: Giải hệ pmùi hương trình tuyến tính(left{ eginarrayl x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 0\ - 2x_1 + x_2 = 0\ - x_1 + 3x_2 + 5x_3 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Hệ có vô số nghiệm cùng với nghiệm bao quát là:(X = ( - altrộn ; - 2alpha ;alpha ) = alpha ( - 1; - 2;1),alpha in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (-1;-2;1). Số chiều của không khí nghiệm là 1.

Xem thêm: Dàn Ý Suy Nghĩ Về Nhân Vật Ông Hai Trong Truyện Ngắn Làng Của Kim Lân

Ví dụ: Giải hệ phương thơm trình tuyến đường tính

(left{ eginarrayl x_1 - x_2 - x_4 = 0\ x_2 - x_3 - x_4 = 0\ 2x_1 - x_2 - x_3 - 3x_4 = 0 endarray ight.)

Giải:

Ta có:

Nghiệm bao quát là:

(X = (alpha + 2eta ;alpha + eta ;alpha ;eta ) = alpha (1;1;1;0) + eta (2;1;0;1),với,,alpha ,eta in R)

Một hệ nghiệm cơ bản là (1;1;1;0).(2;1;0;1). Số chiều của không khí nghiệm là 2.