Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \({d_1}\) đạt giá trị lớn nhất.; o sánh \(P\) với \(\sqrt P \) với điều kiện \(\sqrt P \)có nghĩa … trong đề thi kì 1 môn Toán lớp 9. Xem Đề và đáp án đầy đủ phía dưới đây

*

Bài 1: (2đ) 1) Thực hiện phép tính:

a) \(\sqrt 8 – 2\sqrt {18} + 5\sqrt {32} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} \)

b) \(\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 – \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 – 1}} – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\)

2) Giải phương trình: \(x – \sqrt {x – 15} = 17\).

Bạn đang xem: Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng

Bài 2: (2,5đ) Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} – 3}}{{x + \sqrt x – 2}} – \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{1 – \sqrt x }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt P \) với điều kiện \(\sqrt P \)có nghĩa

c) Tìm \(x\) để \(\dfrac{1}{P}\) nguyên.

3. (2đ) (VD) Cho đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right) :y = \left( {m – 1} \right)x + 2m + 1\).

a) Tìm \(m\) để đường thẳng \({d_1}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ là \( – 3\). Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và chứng tỏ giao điểm của đồ thị hàm số vừa tìm được với đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 1\) nằm trên trục hoành.

b) Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \({d_1}\) đạt giá trị lớn nhất.

Bài 4: (3đ) Cho điểm M  bất kì trên đường tròn tâm O đường kính AB. Tiếp tuyến tại M và tại B của \(\left( O \right)\) cắt nhau tại D. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OD cắt MD tại C và cắt BD tại N.

a) Chứng minh \(DC = DN\).

b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Xem thêm: Cách Trả Về Số 0 Xe Côn Tay, Hướng Dẫn Và Những Điều Cần Biết

c) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống AB, I là trung điểm MH. Chứng minh B, C, I thẳng hàng.

d) Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt \(\left( O \right)\) tại K (KM nằm khác phía với đường thẳng AB ). Tìm vị trí của M để diện tích tam giác MHK lớn nhất.

Bài 5: (0,5đ) Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(x + 2y + 3z \ge 20\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(A = x + y + z + \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{{2y}} + \dfrac{4}{z}\).

*

Bài 1: 1) Thực hiện phép tính:

\(\begin{array}{l}a)\;\;\sqrt 8 – 2\sqrt {18} + 5\sqrt {32} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{2^2}.2} – 2\sqrt {{3^2}.2} + 5\sqrt {{4^2}.2} – \left| {\sqrt 2 – 1} \right|\\ = 2\sqrt 2 – 2.3\sqrt 2 + 5.4\sqrt 2 – \left( {\sqrt 2 – 1} \right)\\ = 2\sqrt 2 – 6\sqrt 2 + 20\sqrt 2 – \sqrt 2 + 1\\ = 15\sqrt 2 + 1.\end{array}\)

Vậy \(\sqrt 8 – 2\sqrt {18} + 5\sqrt {32} – \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 – 1} \right)}^2}} = 15\sqrt 2 + 1\)

\(\begin{array}{l}b)\;\;\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 – \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 – 1}} – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt 7 .\sqrt 7 – \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 – 1}} – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 5 \left( {6 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{\sqrt 7 .\left( {\sqrt 7 – 1} \right)}}{{\sqrt 7 – 1}} – \sqrt 5 – \sqrt 7 \\ = 6 + \sqrt 5 + \sqrt 7 – \sqrt 5 – \sqrt 7 = 6.\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{5 + 6\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{7 – \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 – 1}} – \left( {\sqrt 5 + \sqrt 7 } \right) = 6\)

2) Giải phương trình: \(x – \sqrt {x – 15} = 17\).

ĐKXĐ: \(x \ge 15\)

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;x – \sqrt {x – 15} = 17\\ \Leftrightarrow x – 17 = \sqrt {x – 15} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 17 \ge 0\\{\left( {x – 17} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x – 15} } \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 17\\{x^2} – 34x + 289 = x – 15\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 17\\{x^2} – 35x + 304 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

 Xét phương trình bậc 2: \({x^2} – 35x + 304 = 0\) có: \(\Delta = {35^2} – 4.309 = 9 > 0\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left< \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{ – \left( { – 35} \right) + \sqrt 9 }}{{2.1}} = 19\;\;\;\left( {tm} \right)\\{x_2} = \dfrac{{ – \left( { – 35} \right) – \sqrt 9 }}{{2.1}} = 16\;\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = 19\).

Bài 2: Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} – 3}}{{x + \sqrt x – 2}} – \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{1 – \sqrt x }}\)  với \(x \ge 0,x \ne 1\)

a) Rút gọn biểu thức \(P\).

ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} – 3}}{{x + \sqrt x – 2}} – \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{1 – \sqrt x }}\\\;\;\; = \dfrac{{3x + \sqrt {9x} – 3}}{{\left( {x – \sqrt x } \right) + \left( {2\sqrt x – 2} \right)}} – \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x – 2}}{{1 – \sqrt x }}\\\;\;\; = \dfrac{{3x + 3\sqrt x – 3}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right).\left( {\sqrt x – 1} \right)}} – \dfrac{{\left( {\sqrt x – 1} \right).\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right).\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\left( {\sqrt x – 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{ – \left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{3x + 3\sqrt x – 3 – \left( {x – 1} \right) – \left( {x – 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\left( {x + 2\sqrt x } \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\;\; = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}}.\end{array}\)

Vậy\(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}}\).

b) So sánh \(P\) với \(\sqrt P \) với điều kiện \(\sqrt P \)có nghĩa

\(\sqrt P \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x – 1 > 0\;\;\left( {do\;\;\sqrt x + 1 > 0\;\forall x \ge 0,\;\;x \ne 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \Leftrightarrow x > 1.\)

Xét hiệu: \(P – \sqrt P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} – \sqrt {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}}} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P – \sqrt P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} – \sqrt {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} – \dfrac{{\sqrt {\sqrt x + 1} }}{{\sqrt {\sqrt x – 1} }}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} – \dfrac{{\sqrt {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)} }}{{{{\left( {\sqrt {\sqrt x – 1} } \right)}^2}}} = \dfrac{{\sqrt x + 1 – \sqrt {x – 1} }}{{\sqrt x – 1}}.\end{array}\)

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *